twitter

Distribusi Peluang Kontinu

0 komentar
Posted in



A.    Pengertian Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:
1.      F(x) ≥ 0 untuk semua x є R
2.      ∫(𝑥)𝑑𝑥=1∞∞
3.     P(𝑎<𝑋<𝑏)= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

B.    Konsep dan Teorema Distribusi

1.      Distribusi Normal
Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

a.       Distribusi normal terjadi secara alamiah.
b.  Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.
c.  Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.
d.      Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal. 
Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya:
a. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.
b. Simetris terhadap rataan (mean).
c. Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah maemotong.
d. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ
e. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100 %.

     Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 dimana −∞ < 𝜇𝑥 < ∞ dan 𝜎𝑥 > 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :


 Dimana :
𝜇𝑥 = mean
𝜎𝑥 = deviasi standard
𝜋 = nilai konstan yaitu 3, 1416
𝑒 = nilai konstan yaitu 2,7183
Untuk setiap nilai 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥, kurva fungsi akan simetris terhadap 𝜇𝑥 dan memiliki total luas dibawah kurva tepat 1. Nilai dari 𝜎𝑥 menentukan bentangan dari kurva sedangkan 𝜇𝑥 menentukan pusat simetrisnya.
Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :



Untuk menghitung probabilitas 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) dari suatu variabel acak kontinu X yang terdistribusi secara normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 maka persamaan (1) harus diintegralkan mulai dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏. Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut.
Untuk itu para ahli statistik/matematik telah membuat sebuah penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean 𝜇 = 0 dan deviasi standard 𝜎 = 1. Distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal standard (standard normal distribution). Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Dengan menerapkan ketentuan diatas pada persamaan (1) maka fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z adalah:

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standard ini dinyatakan sebagai :
Distribusi normal variabel acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variabel acak standard Zx menurut hubungan :
Nilai 𝑧𝑥 dari variabel acak standard 𝑧𝑥 sering juga disebut sebagai skor z dari variabel acak X.

2. Distribusi Student’s t
         Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”. Bentuk persamaan fungsinya :
Berlaku untuk −∞ < 𝑡 < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1. Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1. Contoh soal: 
  • Untuk n = 13, jadi dk = (n-1) = 13 - 1 = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,782 ini didapat (lihat tabel distruibusi-t) dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun 0,95. 
  • Bagaimana menggunakan tabel t? kalau v = 10 (berarti misalnya n = 11) serta 𝛼 = 0,05 maka 𝑃(𝑡 >? ) = 0,05
         Jawab:
         Untuk tabel yang disusun secara kumulatif maka kita harus melihat pada tabel t kumulatif,                  derajat bebas (v) =10 dan p = 1-0,05 = 0,95 dan ini menghasilkan nilai 𝑡 = 𝑡0,05 =                                        1,812. Jadi 𝑃(𝑡 > 1,812) = 0,05

3. Distribusi Chi-Kuadrat (𝝌𝟐)

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2.
Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :
Parameter n disebut angka derajat kebebasan (degree of freedom/df) dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif chi-kuadrat adalah :
Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.
Mean (Nilai Harapan) :
𝜇𝑥 = 𝐸( ㄰) = 𝑣
Varians :
𝜎2𝑥 = 2𝑣
Kemencengan (skewness) :


4. Distribusi F

Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:
Dimana :
𝑋21 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑉1 = 𝑛1 − 1
𝑋22 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑉2 = 𝑛2 − 1
Oleh karena itu sebaran F mempunyai dua derajat bebas yaitu 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2.
Misal :
Kita ingin mengetahui nilai F dengan derajat bebas 𝑉1 = 10 dan 𝑉2 = 12, maka jika
𝛼 = 0,05 dari tabel F diperoleh nilai 𝐹0,05 (10,12) = 2,75